Exercices Le bilan radiatif de la Terre

Du fait de sa température non nulle, la Terre émet du rayonnement, dont la puissance $P$ par unité de surface est donnée par la loi de Stefan : $$P=\sigma T^4$$ Avec $\sigma=5,67\times 10^{-8}\,\text{M}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4}$, la constante de Stefan-Boltzmann.
On considérera que la température moyenne sur Terre est de 18 °C.
La présence de gaz à effet de serre dans l’atmosphère de la Terre provoque une absorption d’une partie de la puissance que celle-ci émet. Ces gaz ont la particularité d’absorber les rayonnements infrarouges.

À l’aide de la loi de Wien, calculez la longueur d’onde à laquelle la Terre émet le plus de rayonnement et déterminez la nature de ce rayonnement.

Le Soleil est l’astre qui nous envoie de l’énergie sous forme lumineuse. Il est situé à une distance $D=1,5\times 10^{11}\,\text{m}$ de la Terre. Il rayonne une puissance totale de $P_S=3,85\times 10^{26}\,\text{W}$ dans toutes les directions.

Sa puissance est donc répartie sur la surface d’une sphère. Du point de vue du Soleil, la Terre apparaît comme un disque de rayon $R_T=6,38\times 10^6\,\text{m}$ et de surface $S_T=1,28\times 10^{14}\,\text{m}^2$.

Calculez la surface d’une sphère dont le rayon est égal à la distance Terre-Soleil.
Déduisez-en la puissance rayonnée par le Soleil qui arrive effectivement sur Terre.

La vie a pu apparaître sur Terre, car de nombreuses conditions sont respectées sur cette planète. L’une d’elle, en particulier, est la température moyenne qui règne à sa surface, ni trop basse, ni trop élevée.
La Terre reçoit une puissance lumineuse moyenne de $342\,\text{W}\cdot\text{m}^{-2}$ de la part du Soleil. Seule une fraction de cette puissance est absorbée. Cette fraction correspond à l’albédo moyen $A=0,31$.
Du fait de sa température non nulle, la Terre émet également un rayonnement, dont la puissance $P$ par unité de surface est donnée par la loi de Stefan : $$p=\sigma T^4$$ Avec $\sigma=5,67\times 10^{-8}\,\text{W}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{K}^{-4}$, la constante de Stefan-Boltzmann.
Une partie du rayonnement émis par la surface est absorbé par l’atmosphère. C’est ce que l’on appelle l’effet de serre. Le coefficient d’absorption de l’atmosphère terrestre est $a=0,45$.
On considère qu’à l’équilibre thermique (le maintien d’une température moyenne constante), la puissance absorbée par le système Terre + atmosphère est égale à la puissance que ce dernier émet.

Calculez la puissance lumineuse absorbée par la Terre, notée $P_a$.
Déduisez-en la valeur de la puissance émise $P_e$ par le système Terre + atmosphère.