Fiche de révision Les probabilités

Expérience aléatoire et probabilité

Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat :

• Les résultats possibles sont appelés issues.
• Modéliser une expérience aléatoire consiste à associer à chaque issue une probabilité.

Règles de probabilité :

• La probabilité de chaque issue est un nombre compris entre $0$ et $1$.
• La somme des probabilités de toutes les issues vaut $1$.

Événements :

• Un événement est une condition qui peut être réalisée en fonction de l'issue.
• La probabilité d’un événement est la somme des probabilités des issues qui le réalisent :

$$\text{p(événement)}=\dfrac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$$

Types d'événements :

• Un événement élémentaire est réalisé par une seule issue.
• Un événement impossible a une probabilité de $0$.
• Un événement certain a une probabilité de $1$.

L’événement contraire :

L'événement contraire $\overline{E}$ d'un événement $E$ est l'événement qui se réalise lorsque $E$ ne se réalise pas.

$$\begin{aligned} p(E)+p(\overline E)&=1 \\ p(\overline E)&=1-p(E) \\ p(E)&=1-p(\overline E) \end{aligned}$$

Cas des issues équiprobables :

• Les issues sont dites équiprobables lorsqu’elles ont toutes la même probabilité.
• Si une expérience a $n$ issues équiprobables, alors la probabilité de chaque issue est : $\frac 1n$

Fréquences et probabilités

Lorsque les probabilités des issues ne sont pas connues, on peut :

• Répéter un grand nombre de fois une expérience aléatoire ;
• Observer la fréquence d'apparition d'une issue, c’est-à-dire :

$$\text{Fréquence}=\dfrac{\text{nombre d’apparitions}}{\text{nombre total d'expériences}}$$

Lorsqu’on répète un très grand nombre de fois une expérience aléatoire, la fréquence d’apparition d’une issue se stabilise autour de sa probabilité.

Expérience aléatoire à deux épreuves

Une expérience à deux épreuves consiste à réaliser deux expériences successives et s'intéresser aux résultats des deux.

• Si l’issue de la seconde épreuve ne dépend pas du résultat de la première, les deux épreuves sont dites indépendantes.
• On utilise un tableau à double entrée pour représenter toutes les issues possibles de l’expérience à deux épreuves.